A számok enciklopédiája

1-10

Szám-blog

Unsolved problems

Kompetencia

Kreativitás

Tehetség

Beszélgetések az Új Kertben

10 – A tízes (decimális vagy dekadikus) számrendszer alapszáma;  páros szám; kanonikus felírása: 10 = 2¹.5¹, hiányos szám, barátságos szám,  háromszögszám, felírható két négyzetszám összegeként:1+9=10. Az embernek ennyi ujja van a kezén, és ugyanennyi a lábán. A püthagoreusok az egyik legszentebb számnak tartották.  

Folytatás

11-100

A számok világa

42 – Negyvenkét lépcső vezet fel Mexikóban a Nap legszentebb templomához. Negyvenkét lapból áll a tarot. Negyvenkét betűből áll a Kabala szerint Isten legnagyobb neve. Negyvenkét napig olvassa az elköltözött ember mellett a láma Tibetben a Bardo Tödolt.

Folytatás

101-...

BJMT

666 – 666 a 36-odik háromszögszám, vagyis az első 36 darab pozitív egész szám összege. 666 nem prímszám (osztható 2-vel, 3-mal és 111-gyel). A 666. prímszám a 4973. A 666-os szám. Egyes vallásos számmisztikusok szerint a 6-os az ember és a föld száma, a Bibliában is a gonosz jele vagy száma: a Jelenések Könyvében ez a szám a fenevad száma, emberi szám  (Jelenések Könyve, 13:18), amely a hiábavaló földi, emberi gondolkodást jeleníti meg. Ellentéte a Szentháromság (777) száma.

777 – Egyes vallásos számmisztikusok szerint a Szentháromság, a tökéletesség jele.

Googol – A googol a 10¹⁰⁰ szám neve, ami az 1-es számjegyből és az azt követő száz darab 0-ból áll. A szám a nevét 1938-ban kapta a kilencéves Milton Sirottától, aki Edward Kasner amerikai matematikus unokaöccse volt. Kasner a nevet Mathematics and the Imagination („A matematika és a képzelet”) című könyvében mutatta be. A googol „nagyjából” egyenlő 70 faktoriálisával, és a prímosztói csupán a kettő és az öt. Binárisan ábrázolva 333 biten lehetne leírni. A matematikában a googolnak nincs különösebb jelentősége és nincs lényegesebb felhasználási módja sem. Kasner arra használta, hogy bemutassa a különbséget a végtelen és egy elképzelhetetlenül nagy szám között, és ilyen módon matematikaoktatásban használható. A googol leírható hagyományos formában is:
1 googol = 10¹⁰⁰ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
A Google internetes keresőrendszer neve a googol számból ered, ezzel is mutatva a cég indíttatását a hihetetlen nagy internetes keresőmotorba foglalása iránt.

Folytatás

Munkalehetőségek a kiadónál

A

Arab számok – A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek. A világ nagy részén ezek segítségével ábrázolják a számokat.

Atto – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag trilliomod része, jele: a

Folytatás

B

Bővelkedő szám – Bővelkedő, vagy abundáns számnak nevezünk minden olyan egész számot, amely kisebb osztói összegénél (önmagát nem számítva). Ezek tehát azok a számok, amelyekre σ(n) > 2n, ahol σ(n) az n osztóinak összege (ezúttal önmagát is beleértve). Az osztók összegének és a számnak a különbsége (más szóval σ(n) − 2n) a bővelkedés mértéke. Azon számokat, amelyeknél ez a mérték 1, kvázitökéletes számoknak nevezzük. Ezek páratlan négyzetszámok – ha vannak. A bővelkedő számokat elsőként Nikomakhosz görög matematikus definiálta i.sz. 100 körül, Introductio Arithmetica (Bevezetés az aritmetikába) című művében. Végtelen sok bővelkedő szám létezik, páros és páratlan egyaránt; többek között minden bővelkedő tökéletes szám tetszőleges többszöröse is bővelkedő. Az első pár ilyen szám: 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... Az első páratlan bővelkedő szám a 945. Davenport 1933-ban analitikus módszerekkel bebizonyította, hogy a bővelkedő számok sorozatának van aszimptotikus sűrűsége. Erre Erdős Pál 1934-ben elegáns elemi bizonyítást adott, igazolva, hogy a primitív bővelkedő számok (olyan nem hiányos számok, amelyek minden valódi osztója hiányos) reciprokösszege korlátos. Ez indíttatta Schur-t arra, hogy Erdőst Budapest csodájának nevezze. 1998-ban Marc Deléglise francia matematikus megmutatta, hogy bővelkedő számok sorozatának sűrűsége 0.2474 és 0.2480 közé esik, ezzel eldöntve Henri Cohen kérdését, hogy eléri-e az egynegyedet. Bizonyítható, hogy minden 20161-nél nagyobb egész felírható két bővelkedő szám összegeként.

Folytatás

C

Centi – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag század része, jele: c

Folytatás

D

Deci – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag tized része, jele: d

Decimális szám – Tízes számrendszerben felírt szám. 

Folytatás

E

Egész szám – Az 1, 2, 3, ... pozitív egész számok, a 0 és a -1, -2, -3, ... negatív egész számok valamelyike.

Folytatás

F

Femto – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag billiárdod része, jele: f

Folytatás

G

Googol – ld 101-...

Folytatás

H

Háromszögszám – Egy n számot háromszögszámnak nevezünk, ha n darab pont (golyó, kavics) elrendezhető szabályos háromszögalakban. Az 1,3,6,10 például háromszögszámok. Az n-edik háromszögszám: n(n+1)/2. Minden egész szám felírható legfeljebb 3 háromszögszám összegeként. Ha t háromszögszám, akkor 8t+1 négyzetszám. Általánosan az n-edik háromszögszám négyzete egyenlő az első n darab köbszám összegével. Vannak olyan háromszögszámok, amelyek négyzetszámok is, de egy háromszögszám sem lehet harmadik, negyedik vagy ötödik hatvány.

Folytatás

I

Irreducibilis féltökéletes szám – Olyan féltökéletes szám, amelynek egyik szorzótényezője sem féltökéletes. 

Folytatás

J

Jevons-szám – 8 616 460 799
Ezt a tízjegyű számot William Stanley Jevons említette először 1873-ban, mint egy példát arra a jelenségre, hogy bizonyos számtan műveletek egyszerűen végrehajthatóak, ám megfordításuk nagyon nehéz. Például a fenti számról akkor már tudták, hogy legalább két prím szorzata; de a prímfelbontást reménytelennek látták a matematikusok. 1966-ban  S. W. Golomb amerikai matematikus egyszerűbb algoritmust adott a szám prímfelbontására, eszerint
8 616 460 799 = 96 079 · 89 681 .
Ma már, a nagyteljesítményű szuperszámítógépek korában nem nehéz ezt a faktorizációt pillanatok alatt elvégezni. Azonban lehet mondani nagyobb számokat, melyekkel ezek sem boldogulnak, azaz a Jevons által említett probléma még mindig aktuális. Ezen a tényen alapul például az RSA-eljárás néven ismert rejtjelezési módszer.

Folytatás

K

Kettes számrendszer – A kettes vagy bináris számrendszer két számjegy, a 0 és az 1 segítségével ábrázolja a számokat. Mivel digitális áramkörökben a számrendszerek közül a kettest a legegyszerűbb megvalósítani, a modern számítógépekben és gyakorlatilag bármely olyan elektronikus eszközben, amely valamilyen számításokat végez, szinte kivétel nélkül ezt használják. A kettes számrendszer pontos leírását először Gottfried Leibniz adta meg a 17. században. 1854-ben George Boole megjelentetett egy cikket a később Boole-algebra néven ismertté váló logikai rendszerről. A cikk mérföldkő volt a logika történetében, és létfontosságú a bináris aritmetika áramkörökkel való megvalósításában. 1937-ben Claude Shannon megírta a Boole-algebra és a bináris aritmetika kapcsolókkal és relékkel való megvalósítását leíró diplomamunkáját a MIT-en, és ezzel megalapozta a digitális áramkörök elméletét. 1946-ban a Neumann János által megalkotott Neumann-elvek között szerepel a kettes számrendszer, mint a számítások számrendszere

Folytatás

L

Levegő súlya – Egy liternyi levegő súlya 1,293 g. Így egy köbméter levegő súlya 1,293 kg. Egy átlagos szoba (4X4 méteres alapterület, 3 méteres belmagasság) levegőjének súlya 62 kg!

Ludolph-szám – A π szám másik neve. Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) élete nagy részét arra szánta, hogy geometriai módszerekkel kiszámítsa a π első 35 tizedesjegyét: π=3,14159265358979323846264338327950288… Manapság számítógép segítségével a π sok-sok milliárd tizedesjegyét meghatározhatjuk – mindössze néhány óra leforgása alatt.

Folytatás

M

Mikro – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag milliomod része, jele: m

Mili – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag ezred része, jele: m

Folytatás

N

Nano – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag milliárdod része, jele: n

Folytatás

O, Ö

Oszthatóság – Akkor mondjuk az a és b egész számok esetében, hogy a b osztója az a számnak, vagy azt, hogy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, amelyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek.

Folytatás

P, Q

Piko – Mint előtag összetett szavakban: a fő tag billiomod része, jele: p

Folytatás

R

RSA – Az RSA eljárás egy nyílt kulcsú (vagyis „aszimmetrikus”) titkosító algoritmus, melyet Ron Rivest, Adi Shamir és Len Adleman fejlesztett ki (és az elnevezést neveik kezdőbetűiből kapta). Ez napjaink egyik leggyakrabban használt titkosítási eljárása. Az eljárás elméleti alapjait a moduláris- és a prímszámelmélet egyes tételei jelentik. Az RSA egyaránt alkalmas titkosításra és digitális aláírásra, és ez a képessége tovább növelte népszerűségét. Jelenlegi matematikai ismereteink szerint egy megfelelő gondossággal kivitelezett RSA-titkosítás eredménye számításelméleti okok miatt nem fejthető (és ilyen megfejtési eljárást még tényleg nem hoztak nyilvánosságra). Az eljárás a nagy számok faktorizációjának problémáján alapul, vagyis hogy egy kellően nagy számról nehéz megállapítani annak prímtényezőit. Ha egy szám két igen nagy prímszám szorzata, akkor ennek prímtényezős felbontása még igen nagy számítógépekkel is nagyon sokáig tart. Két nagy (de egyenlő bitszámú) prímszám szorzata (N = p*q) adja az RSA modulusát. Az N szám bináris alakban írt bitjeinek a száma adja a rejtjelzőkód hosszúságát, ami a gyakorlatban általában n=128, 256, 512, 1024 szokott lenni. 

Folytatás

S

Sorozat – Egész számok sorozatainak on-line enciklopédiája 

Folytatás

Sz

Számelmélet – A számelmélet a matematika egyik tudományága, mely eredetileg a természetes számok illetve az egész számok oszthatósági tulajdonságait vizsgálta. Az ez irányú vizsgálatok elnevezésére még ma is alkalmazzák a számelmélet eredeti latinos elnevezését (aritmetika). Az egész számok számelméleti tulajdonságai vizsgálhatóak egészen elemi eszközökkel is (elemi számelmélet), de a felsőbb matematika eszköztára (komplex függvényanalízis) segítségével is (analitikus számelmélet). Az egész számok körében felvetődő bizonyos kérdések tanulmányozása vezetett a számelmélet problémáinak és fogalmainak gyűrűkre vonatkozó kiterjesztéséhez, a gyűrűk (szám)elméletét algebrai számelméletnek nevezzük. A számelmélet területén számos egyszerű, laikusok számára is könnyen érthető problémával találkozhatunk, amelyek megoldása azonban még a legnagyobb elméknek is komoly, sokszor megoldhatatlan kihívást jelent.

Folytatás

T

Tökéletes szám – Olyan szám, amely egyenlő, a magánál kisebb osztóinak az összegével, ha az 1-et is az osztók közé számítjuk. A tökéletes szám fogalma, a püthagoreusoktól származik. Ők négy tökéletes számot ismertek (a 6-ot, a 28-at, a 496-ot és a 8128-at). Már Eukleidész (i.e. 300 körül) tudta, hogy ha 2^k+1 -1 törzsszám, (ahol is "k" természetes szám), akkor 2^k (2^k+1 -1) tökéletes szám. Euler (1707-1783) kimutatta, hogy fordítva is így van, azaz hogy az összes páros tökéletes szám, 2^k (2^k+1 -1) alakú. Az ötödik tökéletes számot Regiomontanus (1436-1476) találta meg. Ez a k=12-höz tartozó, 2¹² (2¹³-1) = 33 550 336. A XVI. században Johann Seheybl (1494-1580) tübingeni matematikus a hatodik és a hetedik tökéletes számot fedezte fel, a k =16 és a k =18 kitevők esetén. Euler a k = 30-ra mutatta ki, hogy 2³⁰ (2³¹ -1) is tökéletes szám. A XIX. században négy új tökéletes számot ismertek meg. Ezek a 2⁶⁰ (2⁶¹ -1), a 2⁸⁸ (2⁸⁹ -1), a 2¹⁰⁶ (2¹⁰⁷ -1) és a 2¹²⁶ (2¹²⁷ -1). A XX. században már számítógépekkel kezdtek vadászni a tökéletes számokra. Az eddigi eredmények: 2⁵²⁰ (2⁵²¹ -1), a 2⁶¹⁶ (2⁶¹⁷ -1), a 2¹²⁷⁸ (2¹²⁷⁹ -1), a 2²¹⁷⁰ (2²¹⁷¹ -1), a 2²²⁰² (2²²⁰³ -1), a 2²²⁸⁰ (2²²⁸¹ -1), a 2³²¹⁶ (2³²¹⁷ -1), és a 2⁴⁴⁴⁹⁶ (2⁴⁴⁴⁹⁷ -1).

Folytatás

U, Ü

Unicode – Az egyik elterjedt megoldás a természetes nyelvekben megtalálható különböző írásjelek egységes kódtáblába foglalására. A számítógépek csak számokat képesek kezelni, ezért ki kellett találni valamilyen megoldást arra, hogy ember által érthető információkat közöljenek. Kézenfekvő volt egy megállapodás, miszerint egy bájt tárol egy karaktert, ami 256 karakter ábrázolását tette volna lehetővé. Az első számítógépek angolszász nyelvterületen készültek, és a betűket ennek megfelelően válogatták össze, és megállapodtak abban, hogy melyik szám melyik betűt jelenti. Ilyen megállapodások például az ASCII és az EBCDIC is. A személyi számítógépekkel együtt az ASCII terjedt el, ami eredetileg csak 7 bitet használt, ezzel 127 különböző karaktert írt le. Ezek tartalmazták az angol ábécé kis- és nagybetűit, a számokat és sok nem nyomtatható karaktert. Később felmerült az igény arra, hogy az egyes nemzetek a saját nyelvükön kommunikáljanak a számítógéppel. Ekkor az ASCII kódtábla 127-nél nagyobb elemeinek a jelentését úgy határozták meg, hogy az csak egy megadott kódlap esetén értelmezhető egyértelműen, vagyis például a 250-es szám jelentése (az általa ábrázolt karakter) attól függött, hogy milyen kódtábla szerint értelmeztük az adott szöveget. Ilyen kódtáblákat kiadott az IBM (cp437-USA; cp852) és az ISO (8859-1; 8859-2 …) is. Ezek csak részmegoldások voltak és sok problémát okozott, hogy nem minden esetben lehetett megállapítani az ékezetes karakterek (127-nél nagyobb számok) eredetét. A jelenleg használt Unicode formák közül a legelterjedtebb az UTF-8, ami változó hosszúságú kódolással (8-64 bit) jeleníti meg a Unicode jeleit.

Folytatás

V, W,

X, Y

Véges halmaz – Olyan halmazt nevezünk végesnek, amelynek elemei száma nulla vagy természetes szám. Azt a halmazt, amely nem véges, végtelen halmaznak nevezzük. Több olyan matematikai tudományág van, amely kifejezetten véges halmazok tanulmányozásával foglalkozik.

Folytatás

Z

Zéró – A nulla másik elnevezése.

Zérus összegű játék – A játékelméletben zérus összegű az a játék, amely végén az esetleges nyereség(ek) mások veszteségének mértékével egyenlő.

Folytatás

Ajánlott irodalom

Klasszikus matematikai művek

Püthagorasz: Aranyversei (M. kiadás: Hermit Könyvkiadó, Miskolc)

Eukleidész: Elemek (16 könyv), i. e. 300 körül

Diophantosz: Aritmetika (13 könyv), 300 körül

Brahmagupta: A világegyetem magyarázata (20 kötet) 628 – Asztronómiai értekezés, 665

Abu Abdalláh Muhammad ibn Músza al-Hvárizmi: Al-dzsbr (Algebra), 830

G. H. Hardy, Edward M. Wright, Andrew Wiles: Bevezetés a számelméletbe, 1938

Ajánlott kortárs irodalom

Bárczy Barnabás: Számtan, 1962

Császár Ákos: Valós analízis Tankönyvkiadó Budapest, 1983

Gyarmati Edit, Turán Pál: Számelmélet, Tankönyvkiadó. Bu-dapest, 1973

Lovász László: Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978

Mérey Gyula: Számtan, 1914

Mocnik Ferencz: Számtan, 1907

Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965

Sárközy András: Számelmélet és alkalmazásai, 1978

Szimeonov Todor, A számok, Változó Világ, Budapest, 2019

Az olvasás

A könyvek

Mutasd meg könyvtáradat...

A közkönyvtárak

A szakkönyvtárak

Az iskola-könyvtárak

Könyvesboltok

Könyvszigetek

Könyvesfalu